Chuyên đề tích phân và ứng dụng Toán 12

Chủ đề 2:
TÍCH PHÂN
I. LÝ THUYẾT

Khái niệm tích phân
a. Diện tích hình thang cong

Hình phẳng giới hnaj bởi đồ thị $y=f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b(a<b)$ , trong đó $f(x)$ là hàm liên tục không âm trên đoạn $[a ; b]$ , gọi là một hình thang cong.

Định lí 1
Nếu hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a ; b]$ , thì diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$ là $S=F(b)-F(a)$ , trong đó $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a ; b]$ .
b. Định nghĩa tích phân

Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a ; b]$ . Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a ; b]$ thì hiệu số $F(b)-F(a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ của hàm số $f(x)$ , kí hiệu là $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ .
Chú ý
a) Hiệu $F(b)-F(a)$ thường được kí hiệu là $\left.F(x)\right|_a ^b$ .

Như vậy: $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$
b) Ta gọi $\int_a^b$ là dấu tích phân, $a$ là cận dưới, $b$ là cận trên, $f(x) \mathrm{d} x$ là biểu thức dưới dấu tích phân và $f(x)$ là hàm số dưới dấu tích phân.
c) Trong trường hợp $a=b$ hoặc $a>b$ , ta quy ước: $\int_a^a f(x) \mathrm{d} x=0$ ; $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=-\int_b^a f(x) \mathrm{d} x$ .

Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a ; b]$ , thì tích phân $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ là diện tích $S$ của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=a, x=b$ .
Vậy $\quad S=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ .

Tính chất của tích phân

Cho $f(x), g(x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $[a ; b]$ . Khi đó, ta có:
1) $\int_a^b k f(x) \mathrm{d} x=k \int_a^b f(x) \mathrm{d} x,(k \in \mathbb{R})$
2) $\int_a^b[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x+\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$
3) $\int_a^b[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x=\int_a^b f(x) \mathrm{d} x-\int_a^b g(x) \mathrm{d} x$
4) $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^c f(x) \mathrm{d} x+\int_c^b f(x) \mathrm{d} x,(a<c<b)$
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$ và số thực $k$ tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $\int_a^b k f(x) \mathrm{d} x=k \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ .
B. $\int_a^b k f(x) \mathrm{d} x=k+\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ .
C. $\int_a^b k f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b k \mathrm{~d} x . \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ .
D. $\int_a^b k f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(k x) \mathrm{d} x$ .

Câu 2: Xét $f(x)$ là một hàm số tùy ý, $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a ; b]$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$ .
B. $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(a)-F(b)$ .
C. $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(a)+F(b)$ .
D. $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=-F(a)-F(b)$ .

Câu 3: Gọi $F(x), G(x)$ lần lượt là nguyên hàm của hai hàm số $f(x), g(x)$ trên đoạn $[a ; b], k$ là hằng số khác 0 . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. $\int_a^b f(x) d x=F(a)-F(b)$ .
B. $\int_a^b f(x) d x=\int_b^a f(x) d x$ .
C. $\int_a^b k \cdot f(x) d x=k[F(b)-F(a)]$ .
D. $\int_a^b f(x) d x-\int_b^c f(x) d x=\int_a^c f(x) d x$ .

Câu 4: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên đoạn $[a ; b]$ và số thực $k$ tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. $\int_a^b k f(x) \mathrm{d} x=k \int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ .
B. $\int_a^a f(x) \mathrm{d} x=0$ .
C. $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=-\int_b^a f(x) \mathrm{d} x$ .
D. $\int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x=\left(\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right)^2$ .

Câu 5: Biết $\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x=2$ . Khi đó, $\int_1^2 2 f(x) \mathrm{d} x$ bằng
A. 2 .
B. -4 .
C. 4 .
D. -2 .

Câu 6: Biết $\int_1^8 f(x) \mathrm{d} x=-2 ; \int_1^4 f(x) \mathrm{d} x=3 ; \int_1^4 g(x) \mathrm{d} x=7$ . Đẳng thức nào sau đây sai?
A. $\int_1^4[4 f(x)-2 g(x)] \mathrm{d} x=-2$ .
B. $\int_4^8 f(x) \mathrm{d} x=1$ .
C. $\int_4^8 f(x) \mathrm{d} x=-5$ .
D. $\int_1^4[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x=10$ .

Câu 7: Biết $\int_1^2 f(x) \mathrm{d} x=2$ và $\int_1^2 g(x) \mathrm{d} x=6$ . Khi đó, $\int_1^2[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x$ bằng
A. -4 .
B. 8 .
C. 4 .
D. -8 .

Câu 8: Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1 ; 2], f(1)=1$ và $f(2)=2$ . Giá trị $\int_1^2 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ bằng
A. $I=1$ .
B. $I=-1$ .
C. $I=3$ .
D. $I=\frac{7}{2}$ .