Hướng dẫn giải toán lớp 10 ôn tập giữa kỳ 2 năm học 2024 – 2025

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Ở mỗi câu thí sinh điền đáp án của câu đó.

Câu 1. Gọi $S$ là tập các giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho bất phương trình ${{x}^{2}}+mx+m>0$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ . Tổng bình phương các phần tử của $S$ bằng bao nhiêu?

Lời giải

Trả lời : 14

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$\left{\begin{array}{l}a=1>0 \\Delta=m^2-4 m<0 .\end{array}\right.$

Giải bất phương trình, ta được $0<m<4$ . Do các phần tử của $S$ là số nguyên nên $S=\left\{ 1;2;3 \right\}$ nên tổng bình phương các phần tử của $S$ là $14$ .

Câu 2. Một chiếc cổng như hình vẽ, trong đó $CD=6\,\text{m},\,AD=4\,\text{m}$ , phía trên cổng có hình dạng parabol. Người ta cần thiết kế cổng sao cho những chiếc xe container chở hàng với bề ngang thùng xe là $4\,\text{m}$ , chiều cao là $5,2\,\text{m}$ có thể đi qua được (chiều cao được tính từ mặt đất đến nóc thùng xe và thùng xe có dạng hình hộp chữ nhật). Hỏi đỉnh $I$ của parabol cách mặt đất tối thiểu bao nhiêu mét để chiếc cổng đạt được yêu cầu trên?

Trả lời : 6,16

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Dựa vào cách chọn hệ trục tọa độ ta suy ra phương trình parabol có dạng $y=a{{x}^{2}}+c,\,\left( a<0 \right)$ .

Tọa độ các điểm $A,B$ là $A\left( -3;0 \right),\,B\left( 3;0 \right)$ .

Vì tính đối xứng của chiếc cổng nên nên ta xét vị trí container đi qua thuận lợi nhất về chiều cao khi tâm của thùng xe thuộc trục $Oy$ .

Ta xét trường hợp khi container vừa chạm vòm cổng tức là parabol đi qua điểm $M\left( 2;\,1,2 \right)$ .

Khi đó ta có hệ: $\left{\begin{array}{l}9 a+c=0 \ 4 a+c=1,2\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left{\begin{array}{l}a=-\frac{6}{25} \ c=\frac{54}{25}=2,16\end{array}\right.$

$\Rightarrow I(0 ; 2,16)$

Vậy khoảng cách tối thiểu của đỉnh $I$ để container đi qua được cổng là $h=2,16+4=6,16$ m.

Câu 3. Một cổng chào của một Trung tâm Hội nghị có hình dạng là một parabol hướng bề lõm xuống dưới. Giả sử ta gắn hệ tọa độ $Oxy$ sao cho một chân cổng đi qua gốc tọa độ O như hình vẽ (x, y tính bằng mét). Khoảng cách giữa hai chân cổng là $OA=4 m$ . Một điểm M nằm trên cổng cách mặt đất một khoảng $MH=5,25 m$ và khoảng cách từ H đến O bằng $1,05 m.$ Hãy tính chiều cao của cổng ở vị trí cao nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi hình dạng của cổng chào có dạng $\left( P \right):\,\,y=a{{x}^{2}}+bx+c$ $\left( a<0 \right)$

Xét $\left( P \right):\,\,y=a{{x}^{2}}+bx+c$ $(a<0)$ .

Ta có: $\left{\begin{array}{l}O \in(\mathrm{P}) \ M \in(\mathrm{P}) \ A \in(\mathrm{P})\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left{\begin{array}{l}c=0 \ 1,05^2 a+1,05 b+c=5,25 \ 16 a+4 b+c=0\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left{\begin{array}{l}a=-\frac{100}{59} \ b=\frac{400}{59} \ c=0\end{array}\right.$

Do đó $\left( P \right):\,\,y=-\frac{100}{59}{{x}^{2}}+\frac{400}{59}x$ và chiều cao của cổng ở vị trí cao nhất chính là tung độ của đỉnh Parabol

Tung độ của đỉnh: ${{y}_{S}}=-\frac{\Delta }{4a}=\frac{400}{59}\approx 6,78$ .

Vậy chiều cao của cổng ở vị trí cao nhất là khoảng 6,78 m.

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ $O x y$ , cho đường thẳng $d: 2 x-y+8=0$ và đường thẳng $\Delta:\left{\begin{array}{l}x=1+3 t \ y=-5+m t\end{array}\right.$ . Với giá trị nào của $m$ thì $d$ và $\Delta$ vuông góc với nhau?

Lời giải

Trả lời : -1,5

Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{{{n}_{d}}}=\left( 2;-1 \right)$ .

Đường thẳng $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(3 ; m)$ nên $\Delta$ nhận $\overrightarrow{n_{\Delta}}=(m ;-3)$ làm vectơ pháp tuyến.

Vì $d$ và $\Delta$ vuông góc với nhau nên $\overrightarrow{n_d} \cdot \overrightarrow{n_{\Delta}}=0 \Leftrightarrow 2 m+3=0 \Leftrightarrow m=\frac{-3}{2}=-1,5$ .
Vậy $m=-1,5$

Phần IV. Tự luận

Câu 3: Một cửa hàng bán bưởi, với giá bán mỗi quả là 60.000 đồng. Với giá bán này thì mỗi ngày cửa hàng chỉ bán được 30 quả . Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả $1.000$ đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là $10$ quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là $35.000$ đồng.

Lời giải

Đáp án: $49.000$ .

Gọi $x$ là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi da xanh, ( $x$ : đồng; $35.000 \leq x \leq 60.000$ đồng).
Tương ứng với giá bán là $x$ thì số quả bưởi bán được là $30+\frac{10}{1.000}(60.000-x)=-\frac{1}{100} x+630$
Gọi $f(x)$ là hàm lợi nhuận thu được $(f(x)$ : đồng), ta có:

$f(x)=\left(-\frac{1}{100} x+630\right)(x-35000)=-\frac{1}{100} x^2+980 x-22050000.$

Lợi nhuận thu được lớn nhất khi hàm $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất trên [35000;60000]
Ta có $f(x)=-\left(\frac{1}{10} x-4900\right)^2+1960000 \leq 1960000, \forall x \in[35000 ; 60000]$

$\Rightarrow \max _{[35000 ; 60000]} f(x)=f(49000)=1960000$

Vậy với giá bán $49000$ mỗi quả bưởi thì cửa hàng thu được lợi lớn nhất.

Câu 6. Hình vẽ bên dưới mô phỏng một trạm thu phát sóng điện thoại di động đặt ở vị trí $I$ có tọa độ $\left( -2;1 \right)$ trong mặt phẳng toạ độ (đơn vị trên hai trục là ki-lô-mét). Tính theo đường chim bay, xác định khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ $\left( -3;4 \right)$ di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Biết rằng trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng $3\,km.$