Đề học sinh giỏi Toán 11 năm học 2024 – 2025 trường THPT Thuận Thành 1 tỉnh Bắc Ninh

PHÃ̀N I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 35 . Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Với các số thực dương $x, y$ tùy ý, đặt $\log <em>3 x=a, \log _3 y=b$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. $\log </em>{27}\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)^3=9\left(\frac{a}{2}-b\right)$
B. $\log <em>{27}\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)^3=\frac{a}{2}-b$ . C. $\log </em>{27}\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)^3=9\left(\frac{a}{2}+b\right)$ .
D. $\log _{27}\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)^3=\frac{a}{2}+b$ .

Câu 2. Giá trị của $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-5 x+6}{\sqrt{4 x+1}-3}$ bằng
A. $-\frac{2}{3}$ .
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{3}{2}$ .
D. $\frac{3}{2}$ .

Câu 3. Số nghiệm thuộc khoảng $(0 ; \pi)$ của phương trình $\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\sin 5 x=0$ là
A. 6 .
B. 7 .
C. 4 .
D. 5 .

PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN

Câu 4. Nhiệt độ ngoài trời $T$ (tính bằng ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ) vào thời điểm $t$ giờ trong một ngày ở một thành phố được tính bởi công thức $T=20+4 \sin \left(\frac{\pi}{12} t-\frac{5 \pi}{6}\right)$ . Để bảo quản các tác phẩm nghệ thuật, hệ thống điều hoà nhiệt độ của một bảo tàng sẽ được tự động bật khi nhiệt độ ngoài trời từ $22^{\circ} \mathrm{C}$ trở lên. Dựa vào đồ thị của hàm số $\sin$ , ta xác định khoảng thời gian $t=[a ; b]$ trong ngày $(0 \leq t \leq 24)$ hệ thống điều hoà được bật. Tính $T=a^2+b^2$ .

Câu 5. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình thang, đáy lớn $B C=2 a$ , đáy bé $A D=a, A B=b$ . Mặt bên $S A D$ là tam giác đều. $M$ là một điểm di động trên đoạn $A B$ sao cho $A M=x(0<x<b)$ , mặt phẳng $(P)$ đi qua $M$ và song song với $S A, B C$ . Tìm $k$ biết $b=k x$ dể diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi $(P)$ lớn nhất.

Câu 6. Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $a, S A \perp(A B C D), S A=a$ và $M$ là trung điểm cạnh $S D$ . Tính côsin góc giữa đường thẳng $A C$ và đường thẳng $B M$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).