Biến cố giao, biến cố hợp, biến cố độc lập Toán 11

Câu 15. Có ba bình $A, B, C$ mỗi bình chứa ba quả cầu trắng, ba quả cầu xanh và ba quả cầu đỏ. Từ mỗi bình lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu.
a) Xác suất để ba quả cầu lấy ra có ba màu khác nhau là: $\frac{1}{9}$
b) Xác suất để ba quả cầu lấy ra cùng màu là: $\frac{2}{27}$
c) Xác suất để ba quả cầu lấy ra có đúng hai màu là: $\frac{2}{3}$
d) Xác suất để ba quả cầu lấy ra có đúng hai quả cầu trắng là: $\frac{2}{9}$

Hướng dẫn giải: a) S b) S c) Đ d) Đ

a) Xác suất lấy được quả cầu màu trắng mỗi bình là $\frac{1}{3}$

Xác suất lấy được quả cầu màu xanh mỗi bình là $\frac{1}{3}$

Xác suất lấy được quả cầu màu đỏ mỗi bình là $\frac{1}{3}$

Các quả cầu lấy ra một cách độc lập, nên xác suất lấy ra ba quả cầu khác màu là
$3!\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$

b) Xác xuất lấy ra ba quả cầu cùng màu trắng là:

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{27}$

Vậy xác suất lấy ra ba quả cầu cùng màu là:

$\frac{1}{27} \cdot 3=\frac{1}{9}$

c) Gọi $D$ là biến cố lấy được ba quả cầu có đúng 2 màu, vậy $\bar{D}$ là biến cố: lấy được ba quả cầu hoặc ba màu, hoặc có đúng một màu. Vậy $P(D)=1-\frac{1}{9}-\frac{2}{9}=\frac{2}{3}$

d) Xác suất lấy ra 2 quả cầu trắng từ ba bình, bình còn lại không có màu trắng là:

$C_3^2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{9}$

Câu 16. Một bộ bài tú lơ khơ có 52 lá, rút ngẫu nhiên lần lượt 3 lá, mỗi lần rút 1 lá, sau mỗi lần rút ta đều để lại lá bài đó vào bộ. Khi đó:
a) Xác suất rút là bài thứ nhất là con $Q$ là $\frac{4}{52}$ .
b) Xác suất rút là bài thứ hai là con $K$ là $\frac{3}{52}$ .
c) Xác suất rút là bài thứ ba là con $J$ là $\frac{1}{52}$ .
d) Xác suất để hai lần đầu rút được lần lượt hai lá bài $Q, K$ và lần thứ ba rút được lá bài $J$ là $\frac{1}{2197}$ .

Hướng dẫn giải: a) Đ b) S c) S d) Đ.

a) Gọi $A$ là biến cố lần thứ nhất rút được con $Q$
Xác suất rút lá bài thứ nhất là con $Q$ là $P(A)=\frac{4}{52}$

b) Gọi $B$ là biến cố lần thứ hai rút được con $K$ .
Xác suất rút lá bài thứ hai là con $K$ là $P(B)=\frac{4}{52}$ .

c) Gọi $C$ là biến cố lần thứ ba rút được con $J$ .
Xác suất rút lá bài thứ ba là con $J$ là $P(C)=\frac{4}{52}$ .

d) Dễ thấy $A B C$ là biến cố hai lần đầu rút được lần lượt hai lá bài $Q, K$ và lần thứ ba rút được con $J$ .
Các biến cố $A, B$ và $C$ đôi một độc lập với nhau.
Vậy xác suất cần tính là:

$P(A B C)=P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)=\frac{4}{52} \cdot \frac{4}{52} \cdot \frac{4}{52}=\frac{1}{2197}$

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn ( Tự luận). Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6 . Ở mỗi câu thí sinh điền đáp án của câu đó.
Câu 17. Một hộp có chứa 5 bi xanh và 4 bi đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi từ hộp. Gọi $A$ là biến cố “Ba viên bi lấy ra đều có màu đỏ”, $B$ là biến cố “Ba viên bi lấy ra đều có màu xanh”. Tính số kết quả thuận lợi cho biến cố $A \cup B$ ?

Lời giải
Đáp án: 14
Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $C_4^3=4$ .
Số kết quả thuận lợi cho biến cố $B$ là: $C_5^3=10$ .
$A \cup B$ là biến cố “hai viên bi lấy ra có cùng màu”.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A \cup B$ là: $C_4^3+C_5^3=14$ .

Câu 18. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số. Tính số khả năng thuận lợi của biến cố $A$ “Số được chọn chia hết cho 3 hoặc 5”.

Lời giải
Đáp án: 4200
-Gọi $B$ là biến cố ” Số được chọn chia hết cho 3 “, $C$ là biến cố ” Số được chọn chia hết cho 5 “
Ta có biến cố $A$ là biến cố “Số được chọn chia hết cho 3 hoặc 5 ” nên $A=B \cup C$
Các số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 3 là: $\frac{9999-1002}{3}+1=3000$ số.
Các số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 5 là: $\frac{9995-1000}{5}+1=1800$ số.
Các số tự nhiên có 4 chữ số chia hết cho 3 và 5 là: $\frac{9990-1005}{15}+1=600$ số.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố $A=B \cup C$ là: $3000+1800-600=4200$ .
Câu 19. Có hai chiếc hộp $I$ và $I I$ , mỗi hộp đựng 10 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 10 . Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Gọi $a, b$ là số ghi trên thẻ tương ứng rút từ hộp I, II.
Xét các biến cố sau
$A$ : ” a là số chẵn”,
$B: " b$ là số chẵn”,
$C: " a b$ là số lẻ”.

Trong các biến cố trên, tìm số cặp biến cố độc lập.
Lời giải
Đáp án: 1
Do việc rút thẻ ở hộp I và II độc lập nên $A, B$ độc lập.
Nếu biến cố $A$ xuất hiện thì biến cố $C$ không xuất hiện và ngược lại. Tương tự cho cặp $B, C$ .
Do đó cặp $(A, C)$ và $(B, C)$ không là các cặp biến cố độc lập.
Câu 20. Bạn Bảo đã phỏng vấn toàn bộ học sinh các lớp khối 11 và nhận thấy: có $60 \%$ các bạn học sinh thích học môn Toán, $20 \%$ các bạn thích học môn Văn và $4 \%$ các bạn thích học cả hai môn Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên một bạn khối 11. Tính xác suất bạn được chọn chỉ thích học đúng một trong hai môn Toán hoặc Văn.

Lời giải
Đáp án: 0,72
Gọi $A$ là biến cố bạn được chọn thích học Toán, $B$ là biến cố bạn được chọn thích học Văn. Giả sử số học sinh khối 11 là $N$ .

Khi đó $\bar{A} B$ là biến cố bạn được chọn chỉ thích học Văn,
$A \bar{B}$ là biến cố bạn được chọn chỉ thích học Toán
và $\bar{A} B \cup A \bar{B}$ là biến cố bạn được chọn chỉ thích học đúng một trong hai môn Toán hoặc Văn.
Sử dụng biểu đồ Ven chúng ta có
$n(\bar{A} B)=n(B)-n(A B) ; n(A \bar{B})=n(A)-n(A B)$
suy ra $n(\bar{A} B \cup A \bar{B})=n(\bar{A} B)+n(A \bar{B})=n(A)+n(B)-2 n(A B)$ .
Từ đây ta có

$P(\bar{A} B \cup A \bar{B})=\frac{n(\bar{A} B \cup A \bar{B})}{N}=\frac{n(A)}{N}+\frac{n(B)}{N}-2 \frac{n(A B)}{N}=60 \%+20 \%-2.4 \%=72 \%=0,72$ .

Câu 21. Một hộp chứa 99 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 99 . Chọn ra ngẫu nhiên 1 thẻ từ hộp. Gọi $A$ là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 2 “, $B$ là biến cố “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho 5 “. Hỏi số kết quả thuận lợi của biến cố $A B$ là bao nhiêu?

Lời giải
Trả lò̀i: 9
$A B$ : “số ghi trên thẻ được chọn vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 5 “
$\Rightarrow A B={10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50 ; 60 ; 70 ; 80 ; 90}$ .
Vậy số kết quả thuận lợi cho $A B$ là 9 .
Câu 22. Cả hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng bia là 0,9 , người thứ hai bắn trúng bia là 0,7 . Tính xác suất để có ít nhất một người bắn trúng bia

Lời giải
Trả lời: 0,97
Gọi $A$ : “Người thứ nhất bắn trúng bia”.
$B$ : “Người thứ hai bắn trúng bia”.
$C$ : “Có ít nhất một người bắn trúng bia”. Suy ra $\bar{C}=\bar{A} \cdot \bar{B}$ .
Vì hai biến cố $\bar{A}, \bar{B}$ độc lập với nhau nên ta có
$P(\bar{C})=P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B})=(1-0,9) \cdot(1-0,7)=0,03$ .
Do đó, xác suất để có ít nhất một người bắn trúng bia là $P(C)=1-P(\bar{C})=1-0,03=0,97$ .