Ôn tập giữa kỳ 2 môn Toán lớp 12 năm học 2024 – 2025

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1. Một xe máy đang chuyển động thì hết xăng. Từ thời điểm đó xe máy chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-6 t+24(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc hết xăng. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe máy đi được trong khoảng thời gian $t$ giây kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc xe máy dừng hẳn xe máy đi được bao nhiêu mét?
Câu 2. Tính thể tích $V$ của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=2 \pi$ , biết thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại điểm có hoành độ $x(x \in[0 ; 2 \pi])$ là một tam giác cân có hai cạnh bằng $3 x$ và một góc bằng $120^{\circ}$ (làm tròn đến hàng đơn vị). Phần IV. Tự luận
Câu 3.
a) Tìm nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=\frac{2 x^4+3}{x^2}(x \neq 0)$ là:
b) Bác Năm làm một cái cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3 mét. Giá thuê mỗi mét vuông là 1500000 đồng. Tính số tiền bác Năm phải trả.

PHẦN IV. Tự luận

Câu 1.
a) Trong không gian Oxyz cho các điểm $A(1 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ; 1 ; 2), D(2 ; 0 ; 1), E(2 ; 2 ; 2)$ . Xác định vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng $(A B C)$ và $(D E O)$ .
b) Trong không gian Oxyz cho các điểm $A(1 ; 2 ; 3), B(0 ; 1 ; 2), C(2 ; 1 ; 0), D(-2 ; 0 ;-1)$ . Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(B C D)$ .
c) Trong không gian Oxyz cho các điểm $A(2 ; 1 ; 0), B(-1 ; 2 ;-1), C(0 ; 1 ; 2), D(-2 ; 0 ; 1)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A$ và song song với mặt phẳng $(B C D)$ .
Câu 2. Trong không gian $O x y z$ , cho tam giác $A B C$ có $A B=8 ; B C=6 ; A C=10$ và mặt phẳng $(P): x-2 y+2 z-8=0$ . Biết ba cạnh của tam giác $A B C$ tiếp xúc với mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2 x-4 y-2 z-7=0$ và mặt phẳng $(A B C)$ song song với mặt phẳng $(P)$ . Tìm giao điểm của mặt phẳng $(A B C)$ với trục hoành.

Hướng dẫn giải:

Phần II. Trả lời ngắn

Câu 1. Một xe máy đang chuyển động thì hết xăng. Từ thời điểm đó xe máy chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-6 t+24(\mathrm{~m} / \mathrm{s})$ , trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc hết xăng. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe máy đi được trong khoảng thời gian $t$ giây kể từ lúc hết xăng. Hỏi từ lúc hết xăng đến lúc xe máy dừng hẳn xe máy đi được bao nhiêu mét?

Lời giải
Đáp án: 48
Ta có quãng đường xe máy chuyển động trong thời gian $t$ giây là:

$s(t)=\int v(t) d t=\int(-6 t+24) d t=-3 t^2+24 t+C$ .

*Khi $t=0$ thì $s(t)=0 \Rightarrow C=0 \Rightarrow s(t)=-3 t^2+24 t$ .
*Khi xe máy dừng hẳn thì $v(t)=0 \Leftrightarrow-6 t+24=0 \Leftrightarrow t=4$ (giây).
Khi đó thời gian xe máy chuyển động từ lúc hết xăng đến lúc dừng hẳn là 4 giây.
*Quãng đường xe máy đi dược từ lúc hết xăng đến lúc dừng hẳn là:
$s(4)=-3.4^2+24.4=48(m)$ .
Vậy từ lúc hết xăng đến lúc xe máy dừng hẳn xe máy đi được là 48.

Câu 2. Tính thể tích $V$ của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng $x=0$ và $x=2 \pi$ , biết thiết diện của vật thể khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $O x$ tại điểm có hoành độ $x(x \in[0 ; 2 \pi])$ là một tam giác cân có hai cạnh bằng $3 x$ và một góc bằng $120^{\circ}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải
Đáp án: 322
*Diện tích của tam giác cân có hai cạnh bằng $3 x$ và một góc bằng $120^{\circ}$ là

$S(x)=\frac{1}{2} \cdot 3 x \cdot 3 x \cdot \sin 120^{\circ}=\frac{9 x^2 \sqrt{3}}{4}$ .

*Thể tích của vật thể đó là $\left.V=\int_0^{2 \pi} \frac{9 x^2 \sqrt{3}}{4} d x=\frac{3 x^3 \sqrt{3}}{4} \right\rvert\, \begin{gathered}2 \pi \ 0\end{gathered}=6 \pi^3 \sqrt{3} \approx 322$ .
Vậy thể tích là 322 .

Phần IV. Tự luận

Câu 1.

a) Trong không gian Oxyz cho các điểm $A(1 ; 0 ; 1), B(1 ; 2 ; 1), C(0 ; 1 ; 2), D(2 ; 0 ; 1), E(2 ; 2 ; 2)$ . Xác định vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng $(A B C)$ và $(D E O)$ .

Lời giải
Ta có: $\overrightarrow{A B}=(0 ; 2 ; 0), \overrightarrow{A C}=(-1 ; 1 ; 1)$ ,

$[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]=\left(\left|\begin{array}{cc}2 & 0 \1 & 1\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}0 & 0 \1 & -1\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{cc}0 & 2 \-1 & 1\end{array}\right|\right)=(2 ; 0 ; 2) .$

Chọn $\vec{n}=(1 ; 0 ; 1)=\frac{1}{2}[\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}]$ làm vectơ pháp tuyến của $(A B C)$ .
Suy ra $(A B C)$ có phương trình tổng quát là:

$1(x-1)+0(y-0)+1(z-1)=0 \Leftrightarrow x+z-2=0$

Lại có: $\overrightarrow{O D}=(2 ; 0 ; 1), \overrightarrow{O E}=(2 ; 2 ; 2)$ ,

$[\overrightarrow{O D}, \overrightarrow{O E}]=\left(\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \2 & 2\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll}1 & 2 \2 & 2\end{array}\right| ;\left|\begin{array}{ll}2 & 0 \2 & 2\end{array}\right|\right)=(-2 ;-2 ; 4) .$

Chọn $\vec{m}=(1 ; 1 ;-2)=-\frac{1}{2}[\overrightarrow{O D}, \overrightarrow{O E}]$ làm vectơ pháp tuyến của $(D E O)$ .
Suy ra ( $D E O$ ) có phương trình tổng quát là:

$\begin{aligned}& 1(x-2)+1(y-0)-2(z-1)=0 \Leftrightarrow x+y-2 z=0 \& \text { Vì } \frac{1}{1} \neq \frac{0}{1} \neq \frac{1}{-2} \text { nên }(A B C) \text { cắt }(D E O) .\end{aligned}$

Câu 3.

+) Dễ thấy $\triangle A B C$ vuông tại $B$ .
+) Mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2 x-4 y-2 z-7=0$ có tâm $I(1 ; 2 ; 1)$ , bán kính $R=\sqrt{13}$ .
$+)$ Vì $(A B C) / /(P)$ nên $(A B C)$ có dạng: $x-2 y+2 z+m=0 \quad(m \neq-8)$ .
+) Ba cạnh của tam giác $A B C$ tiếp xúc với $(S)$ nên $\triangle A B C$ ngoại tiếp đường tròn $(C)$ có târ
$K$ và $(C)=(A B C) \cap(S)$ .
Khi đó: $\left{\begin{array}{l}I K \perp(A B C) \ I K=d(I ;(A B C))\end{array}\right.$ .
+) Gọi $M$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $B C \Rightarrow K M=r$ là bán kính đường tròn $(C)$ và

$r=\frac{S_{A B C}}{p}=2 .$

Có $I K=\sqrt{I M^2-K M^2}=\sqrt{R^2-r^2}=3$ .

$\Rightarrow d(I ;(A B C))=3 \Leftrightarrow \frac{|m-1|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=3 \Leftrightarrow|m-1|=9 \Rightarrow m=10 \text { (loại } m=-8 \text { ). }$